Page 6 - sst-2022b

Σκέδαση Ηλεκτρομαγνητικών Κυμάτων

Μαγνητικού Δίπολου Χαμηλών Συχνοτήτων από

Σφαιρικά Μεταλλικά Αντικείμενα σε Περιβάλλον

Χωρίς Απώλειες

Ελένη Στεφανίδου Παναγιώτης Βαφέας
Μαθηματικός και Μεταπτ. Φοιτήτρια ΜΣΜ/ΣΘΕΤ Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών
ΕΑΠ και Μέλος ΣΕΠ ΜΣΜ/ΣΘΕΤ ΕΑΠ
stef.el@hotmail.com, std134866@ac.eap.gr vafeas@chemeng.upatras.gr

Περίληψη – Στην εργασία αυτή διερευνώνται τα ηλεκτρομα- και της θεωρίας σκέδασης χαμηλών συχνοτήτων (Dassios

γνητικά πεδία που σκεδάζονται από μεταλλική σφαίρα στο & Kleinman, 2000) σκοπεύουμε να λάβουμε αποτελεσμα-

περιβάλλον του κενού. Μια χρονικά αρμονική μαγνητική τικά μοντέλα με ισχυρά μαθηματικά εργαλεία (Ammari,

διπολική πηγή, αρκετά μακριά, εκπέμπει σε χαμηλές συχνό- Garnier, Jing, Kang, Lim, Solna & Wang, 2013).

τητες το προσπίπτον πεδίο, προσανατολισμένο αυθαίρετα Η βιβλιογραφία αναζητά την προσθήκη νέων άρθρων
στον τρισδιάστατο χώρο. Σκοπός είναι η εύρεση αναλυτικής

λύσης του προβλήματος σκέδασης σε σφαιρικές συντεταγμέ- ενώ πολλά έχουν ήδη δημοσιευθεί. Μελέτη σκέδασης

νες, χρήσιμη για την αντιστροφή δεδομένων. Βάσει της θεω- χαμηλών συχνοτήτων από τέλεια αγώγιμη σφαίρα σε
ρίας χαμηλών συχνοτήτων το πρόβλημα τύπου Maxwell αγώγιμο περιβάλλον (Vafeas, Perrusson & Lesselier, 2004)

μετατρέπεται σε διασυνδεδεμένες εξισώσεις Laplace ή Pois- με επαλήθευση των αποτελεσμάτων (Mie, 1908), από
son με τις συνοριακές συνθήκες της τέλεια αγώγιμης σφαί- σφαιροειδές (Vafeas, Perrusson & Lesselier, 2009) ή

ρας και τις συνθήκες ακτινοβολίας στο άπειρο και λύνονται ελλειψοειδές (Perrusson, Vafeas & Lesselier, 2010 και

σταδιακά. Η προσέγγιση του στατικού και των πρώτω ν Vafeas, 2020), μελέτη εντοπισμού ορυκτού σώματος

τριών δυναμικών όρων αρκεί. Οι όροι υψηλότερων τάξεων θαμμένου στη Γη (Perrusson, Vafeas, Chatjigeorgiou &

είναι αμελητέοι. Για την εγκυρότητα της προσέγγισής μας,

εκφυλίζονται τα αποτελέσματα της σφαιροειδούς περίπτω- Lesselier, 2015), μελέτες με δύο γειτονικές μεταλλικές

σης, ώστε να ανακτηθούν τα αντίστοιχα αποτελέσματα της σφαίρες (Vafeas, Papadopoulos & Lesselier, 2012) ή με

σφαιρικής. έναν αδιαπέρατο δακτύλιο (Vafeas, Papadopoulos, Ding

& Lesselier, 2016) δείχνουν την πολυπλοκότητα των

Λέξεις-Κλειδιά: Ηλεκτρομαγνητικά πεδία, Σκέδαση χαμη- αναλυτικών τεχνικών στα γεωμετρικά μοντέλα (Moon &

ε

λών συχνοτήτων, Μαγνητικό δίπολο, Σφαιρικές συντεταγμέ- Spencer, 1971 και Morse & Feshbach, 1953) μ την εμ-

νες φάνιση περίπλοκων ιδιοσυναρτήσεων (Hobson, 1965 και

dlmf.nist.gov).
Συλλογιζόμενοι την περίπτωση δύο σφαιρών που σχε-
I. ΕΙΣΑΓΩΓΗ δόν αγγίζονται (Vafeas, Lesselier & Kariotou, 2015), την
Εφαρμογές απόκρισης σκεδαστών αυθαίρετου σχήμα- τοροειδή (Vafeas, 2016), ελλειψοειδή (Vafeas, 2020) και
τος, σε διάφορα μέσα, όταν διεγείρονται από πρωτογενείς σφαιροειδή (Vafeas, 2018) περίπτωση και αναζητώντας
πηγές, π.χ. στην ανίχνευση υπογείων της Γης (για ορυκτά, διαφορετικές δομές σώματος σε μέσα χωρίς απώλειες, η
κοιλότητες, νάρκες κ.ά.) είναι στην αιχμή της επιστήμης. παρούσα εργασία ερευνά μία μεταλλική σφαίρα στο περι-

Επιλύονται ως προβλήματα σκέδασης ηλεκτρομαγνητι- βάλλον του κενού. Μία χρονικά αρμονική μαγνητική

κών κυμάτων εκ των οποίων υπάρχουν δύο είδη. Το ευθύ, διπολική πηγή εκπέμπει σε χαμηλές συχνότητες τα προ-
με στόχο τον καθορισμό του σκεδαζόμενου πεδίου, γνω- σπίπτοντα ηλεκτρομαγνητικά κύματα, προς τον σκεδαστή
ρίζοντας τις ιδιότητες (φυσικές – γεωμετρικές) του σκε- ο οποίος ανταποκρίνεται δημιουργώντας τα σκεδαζόμενα
δαστή και τη διαφορική εξίσωση διάδοσης των κυμάτων πεδία τα οποία θέλουμε να υπολογίσουμε. Καταλληλότε-
και το αντίστροφο όπου αναζητούμε πληροφορίες για τη ρο σύστημα συντεταγμένων για τη μοντελοποίηση είναι
φύση του σκεδαστή ούσα γνωστή η επίδρασή του στο το σφαιρικό (Moon et al., 1971 και Morse et al., 1953).
κυματικό πεδίο. Μεγαλύτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει το
αντίστροφο πρόβλημα. Ωστόσο, καθίσταται ιδιαίτερα
δύσκολο εάν δεν προϋπάρχει γνώση του αντίστοιχου II. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ
ευθέος. Για την ασφαλή αντιμετώπιση ενός αντίστροφου Αρχικά παραθέτουμε μία σχηματική αναπαράταση του
προβλήματος (Ammari & Kang, 2007), ζητάμε την επίλυ- προβλήματος που φαίνεται στο Σχήμα 1. Ως ( ˆˆ ,xx x ˆ , )
ση του αντίστοιχου ευθέος. Με χρήση των θεμελιωδών 1 2 3
x
αρχών ηλεκτρομαγνητισμού (Stratton, 1941) του Maxwell ορίζουμε την Καρτεσιανή βάση, E το ηλεκτρικό πεδίο,
39