Page 7 - sst-2022b

H το μαγνητικό με x = p ,,st τα προσπίπτοντα p , τα δαζόμενα ηλεκτρομαγνητικά πεδία, τα οποία θα υπολογι-
x
σκεδαζόμενα s και τα συνολικά t ηλεκτρομαγνητικά στούν με βάση την ανάλυση που έπεται.

Οι συνοριακές συνθήκες αναφέρονται στα συνολικά
πεδία. Επίσης, r είναι το τυχαίο διάνυσμα θέσης, r το πεδία και την επιφάνεια S . Με την ακύρωση των εφα-
0
διάνυσμα θέσης του δίπολου, m το μαγνητικό δίπολο, ω πτόμενων συνιστωσών του ηλεκτρικού πεδίου και των
η χαμηλή κυκλική συχνότητα, ε η διηλεκτρική σταθερά, κάθετων συνιστωσών του μαγνητικού στην S , αλλά και
µ η μαγνητική διαπερατότητα, σ η αγωγιμότητα, k ο με μία επιπλέον επεξεργασία για κάθε n , παίρνουμε
κυματικός αριθμός, S η επιφάνεια της σφαίρας ακτίνας ˆ Hr ˆ  H p ( ;r r + s ( ) = 0, n = 0,2,3, (6)
⋅ n
) Hr 
( ) ≡⋅n
t
α , ˆ n το μοναδιαίο εξωτερικό κάθετο διάνυσμα στη n  n 0 n 
( ) ≡ ×n
t
s
( )E
σφαίρα και Ω ο χώρος ηλεκτρομαγνητικής σκέδασης, ο ˆ ×Er ˆ  n  p n ( ; r r 0 ) + Er  = 0 , n = 1,3. (7)
n
n
οποίος εξαιρώντας τη θέση του δίπολου ορίζεται ως Οι συνθήκες ακτινοβολίας Silver–Müller στο άπειρο που
Ω≡ V R 3 − r 0 (1) πρέπει να ικανοποιούνται είναι για κάθε n = 1,2,3
( ) { } .
s
( ) 
Επίσης, το αυθαίρετα προσανατολισμένο μαγνητικό δίπο-   Hr  H s n− 1 ( ) r  
n
lim r 
λο στο Καρτεσιανό σύστημα δίνεται από τη σχέση r →+∞     Er    + n r    E n− 1 ( ) r     ×∇×   = , 0r ∈Ω . (8)
( )
s
s
n
3
m= ∑ m j ˆ x . (2) Σύμφωνα με τα πεδία για κάθε όρο ( ) , n ¥ , τη
n
ik
∀∈
j
j= 1
Επιπλέον, ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο ικανοποιούν χρονική αρμονική εξάρτηση της πηγής και το γεγονός ότι
την εξίσωση Helmholtz με τον κυματικό αριθμό να είναι το πρόβλημα είναι εξωτερικού τύπου, οι εξισώσεις Max-
well για τα σκεδαζόμενα πεδία, θα είναι
k ω εµ . (3)
=
∇× Er n µ H s n− 1 ( ), r 0 n ≥ (Νόμος Faraday), (9)
s
( ) =
n
ε
ε
( ) = −
s
∇× Hr n µ E s n− 1 ( ), r 0 n ≥ (Νόμος Ampère), (10)
n
∇⋅ H s n ( ) r = ∇⋅ Er 0, n ≥ 0, r ∈Ω . (11)
s
( ) =
n
B. Μοντελοποίηση του προβλήματος
Από τις (9) – (11) προκύπτουν τα παρακάτω. Υπάρ-
,
s
s
s
χουν ΦΦ άγνωστα βαθμωτά και Χ ,Χ άγνωστα
s
3
3
0
2
διανυσματικά αρμονικά πεδία, τέτοια ώστε
( ) = ∇Φ
s
( ) =
s
∆ Hr 0 ⇒ Hr s 0 ( ) r , (12)
0
0
s
( ) =
∆ Hr 2H 0 s ( ) r ⇒ Hr s 2 ( ) r +Φ s 0 ( ) r , (13)
r
( ) = Χ
s
2
2
( ) =
s
∆ Hr 0 ⇒ Hr s 3 ( ) r , (14)
s
( ) = ∇Φ
3
3
1 µ
s
( ) = −
Σχήμα 1. Σχηματική αναπαράσταση του προβλήματος Er 2 ε ∇× H s 2 ( ) r , (15)
1
( ) ⇒
s
A. Φυσική και Μαθηματική Ερμηνεία ∆ E 3 s ( ) r = 6Er
1
Με την τεχνική χαμηλών συχνοτήτων αναπτύσσουμε  1 Er′ 
( )
s
s
όλα τα πεδία σε άθροισμα όρων θετικών ακέραιων δυνά- Er Χ s 3 ( ) 6r +  ∫∫∫ 1 d ′− Ω , (16)
( ) =
3
−
4π
rr′



ik

μεων του ( ) , όπου i η φανταστική μονάδα. Έτσι, όπου το πρόβλημα μετατέθηκε στην επίλυση των
Ω
+∞
ik
0
H x ( ) r = ∑ H x n ( ) r ( ) n , r ∈Ω , x = p , , st , (4) ∆Φ s 0 ( ) r = 0, ∆ Χ s 2 ( ) r = , 0 ∆Φ 3 s ( ) r = 0, ∆ Χ 3 s ( ) r = . (17)
n= 0 ! n n Τέλος, καταλληλότερο σύστημα συντεταγμένων είναι
)
+∞
ik
[ 1,1 ,
θ
Er ∑ E n x ( ) r ( ) , r ∈Ω , x = p , , st . (5) το σφαιρικό ( ,r ζ ≡ cos ,ϕ ) με r ∈ [0,+∞ , ζ ∈− ]
x
( ) =
n= 0 ! n ϕ [0,2π ∈ ] βάσει του οποίου καθορίζουμε όλες τις χρή-
ik
Τοω είναι πολύ χαμηλό, άρα και το( ) , οπότε καθώς το σιμες για την επίλυση σχέσεις.
n
ik
n∈¥ αυξάνεται, το ( ) φθίνει πολύ. Επομένως, περιο- III. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ
ριζόμαστε στους όρους για n = 0,1,2,3 . Οι όροι υψηλό- Από τα παραπάνω προκύπτει ακολουθία προβλημάτων
τερων τάξεων (n ≥ ) 4 είναι αμελητέοι. συνοριακών τιμών διαφορικών εξισώσεων Laplace ή
ης
Κάνοντας αυτή τη διαδικασία για τα προσπίπτοντα Poisson 2 τάξης, με τις συνοριακές συνθήκες του αδια-
πέρατου χαρακτήρα της μεταλλικής σφαίρας και τις συν-
πεδία, παίρνουμε ότι το μαγνητικό πεδίο τάξης 0 και τα θήκες ακτινοβολίας Silver – Müller στο άπειρο. Τα πα-
ηλεκτρικά τάξης 0 και 2 μηδενίζονται. Επίσης, παίρνουμε ραθέτουμε παρακάτω με τις λύσεις τους. Προηγουμένως,
χρήσιμους τύπους για τα πεδία που δεν μηδενίζονται. όμως, ορίζουμε χρήσιμους τύπους.
Τελικά, τα H s 0 , H s 2 , H EE είναι τα ζητούμενα σκε- Η γενική λύση της εξίσωσης Laplace με άγνωστη την
s
,
s
,
s
3
1
3
40