Page 9 - sst-2022b


3
l
+∞
∑∑∑ ∑ f  l mq ( ,, ζϕ )d l mq χωρίς απώλειες. Στόχος μας ήταν μία μικρή συμβολή
στην ομάδα αυτή για μία ακριβέστερη πιθανή αντιστροφή.
/,κ
r
/
s
, j
, j
l = 0 0 m= = , q eo  j= 1 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ

/,κ
g − l mq ( , , ;r s ζϕ r 0  0, κ = 1,2,3 , (35) Ευχαριστώ ολόψυχα τον επιβλέποντα καθηγητή μου κο.
) =
 Παναγιώτη Βαφέα για την ευκαιρία που μου έδωσε να
/,κ
/,κ
με τα f l mq και g l mq να υπολογίζονται από τις συνο- ασχοληθώ με αυτό το τόσο ενδιαφέρον θέμα, τη λεπτομε-
, j
/
ριακές συνθήκες συναρτήσει των Y l mq , P l m , f m q . Για να ρή και υποστηρικτική καθοδήγησή του κατά την εκπόνη-
ση της εργασίας αυτής, τη συνεχή ανταπόκρισή του σε
s
προχωρήσουμε στην αντικατάσταση του Χ στη σχέση όλες μου τις απορίες και την ενθάρρυνσή του σε αυτή μου
3
s
(16) ώστε να βρεθεί το Ε θα πρέπει πρώτα να μετατρέ- την προσπάθεια. Επίσης, ευχαριστώ θερμά τη συνεπιβλέ-
3
πουσα καθηγήτριά μου κα. Φωτεινή Καριώτου για την
ψουμε το τριπλό ολοκλήρωμα σε μία εύχρηστη μορφή καθοριστική συμβολή της στην εργασία αυτή και τις πο-
αθροίσματος. Έτσι, βρίσκουμε λύτιμες συμβουλές της κατά τη διάρκεια των σπουδών
( )
s
3 Er′ μου.
Ω=
− ∫∫∫ 1 d ′
2π rr′
−
Ω l ΑΝΑΦΟΡΕΣ
+∞
)
r 
/
/
/
l
/
= ∑∑∑  mq l l mq ( ) r + s s mq r+ S ( −+ ) 1   Y l mq ( , ζϕ , (36) Ammari, H., Garnier, J., Jing, W., Kang, H., Lim, M., Solna, K. & Wang,
H. (2013). Mathematical and Statistical Methods for Multistatic
,in
l
,ex
l
l = 0 0 m= = , q eo maging. Lecture Note in Mathematics (vol. 2098). Switzerland:
Springer–Verlag.
/
/
/
όπου τα S l mq , s mq , s l mq καθορίζονται βάσει της σχέσης Ammari, H. & Kang, H. (2007). Polarization and Moments Tensors:
,ex
l
,in
( )
s
3 Er′ with Applications to Inverse Problems and Effective Medium
Ω=
− ∫∫∫ 1 d ′ Theory. Applied Mathematical Sciences Series (vol. 2098). New
−
2π rr′ York: Springer–Verlag.
Ω Dassios, G. & Kleinman, R.E. (2000). Low Frequency Scattering.

( )
s
3  2 1π 0 r e − Er′ Oxford: Oxford University Pass.
2
′
′
= −  lim 0∫∫ ∫ 1 r dr d dζϕ′ ′ Hobson, E.W. (1965). The Theory of Spherical and Ellipsoidal
2π  e→ 0 1 − α rr′ Mie, G. (1908). Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler
Harmonics. New York: Chelsea Publishing Company.
−

2 1π 0 r e + Er′ Metallösungen. Annals of Physics, 330, 377–445.
( )
s

lim 0∫∫ ∫ 1 r dr d d ′ ′ ζϕ′ Moon, P. & Spencer, E. (1971). Field Theory Handbook. Berlin:
′
+
2
Springer–Verlag.
−
e→ rr′
0 1 0 r − e − Morse P.M. & Feshbach H. (1953). Methods of Theoretical Physics,
Volumes I and II. New York: McGraw–Hill.
2 1π +∞ Er′  Perrusson, G., Vafeas, P., Chatjigeorgiou I.K. & Lesselier, D. (2015).
( )
s
+
lim 0∫∫ ∫ 1 r dr d d ′ ′ ζϕ′  Low–frequency on–site identification of a highly conductive body
 , (37)
2
′
−
e→ rr′  buried in Earth from a model ellipsoid. IMA Journal of Applied
0 1 0 r− e +  Mathematics, 80, 963–980.
άρα Perrusson, G., Vafeas, P. & Lesselier, D. (2010). Low–frequency dipolar
excitation of a perfectly ellipsoidal conductor. Quarterly of
l
∞
( {
l
Er ∑∑∑  d mq + s l mq ) r ( −+ ) 1 Stratton, J.A. (1941). Electromagnetic Theory. New York: McGraw–Hill.
Αpplied Mathematics, 68, 513–536.
s
/
/
( ) =

,ex
l
3
,ex
l = 0 0 m= = , q eo Vafeas, P., Lesselier, D. & Kariotou, F. (2015). Estimates for the low

/
/
/
+ mq l S mq ( ) rY l mq ( , ζϕ )} . (38) frequency electromagnetic fields scattered by two adjacent metal
r + s

l
,in
l
spheres in a lossless medium. Mathematical Methods in the Applied
Sciences, 38, 4210–4237.
F. Επαλήθευση των αποτελεσμάτων Vafeas, P., Papadopoulos, P.K., Ding, P.–P. & Lesselier, D. (2016).
Τελευταίο μέρος της εργασίας είναι ο έλεγχος της ορ- Mathematical and numerical analysis of low–frequency scattering
from a PEC ring torus in a conductive medium, Applied
θότητας των υπολογισμών μας. Η σφαίρα είναι οριακή Mathematical Modelling, 40, 6477–6500
περίπτωση (όταν η ημιεστιακή απόσταση τείνει στο 0) Vafeas, P., Papadopoulos, P.K. & Lesselier, D. (2012). Electromagnetic
του σφαιροειδούς. Επομένως, παίρνουμε τα αποτελέσμα- low–frequency dipolar excitation of two metal spheres in a
conductive medium. Journal of Applied Mathematics, ID 628261,
τα της σφαιροειδούς περίπτωσης από προηγούμενη μελέ- 1–37.
τη (Vafeas, 2018) και μέσω του εκφυλισμού τους προκύ- Vafeas, P., Perrusson, G. & Lesselier, D. (2009). Low–frequency
πτουν τα αποτελέσματα της σφαίρας που βρήκαμε. scattering from perfectly condustive medium with magnetic dipole
excitation. International Journal of Engineering Science, 47, 372–
390.
IV. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Vafeas, P., Perrusson, G. & Lesselier, D. (2004). Low–frequency
Με την ολοκλήρωση της εργασίας αυτής έχουμε λάβει solution for a perfectly conductive medium with dipolar excitation.
τα αποτελέσματα των σκεδαζόμενων πεδίων στην περί- Progress in Electromagnetics Research, 49, 87–111.
πτωση εντοπισμού μίας μεταλλικης σφαίρας στο κενό. Vafeas, P. (2018). Dipolar Excitation of a Perfectly Electrically
Conducting Spheroid in a Lossless Medium at the Low–Frequency
Μαζί με τις μελέτες δύο σφαιρών που σχεδόν αγγίζονται Regime. Advances in Mathematical Physics, ID 9587972, 1–20.
(Vafeas, Lesselier & Kariotou, 2015), ενός τοροειδούς Vafeas, P. (2020). Low–Frequency dipolar electromagnetic scattering by
(Vafeas, 2016), ενός ελλειψοειδούς (Vafeas, 2020) και a solid ellipsoid in lossless environment. Studies in Applied
Mathematics, 217–246.
ενός σφαιροειδούς (Vafeas, 2018) όλες σε μη αγώγιμα Vafeas, P. (2017). Revisiting the Low–Frequency Dipolar Perturbation
περιβάλλοντα, κλείνει μία ομάδα επιλύσεων ευθέων προ- by an Inpenetrable Ellipsoid in a Conductive Surrounding.
βλημάτων σκέδασης ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων για Mathematical Problems in Engineering, ID 9420658, 1–16.
τον εντοπισμό μεταλλικού αντικειμένου σε ένα μέσο Vafeas, P. (2016). Low–frequency electromagnetic scattering by a metal
torus in a lossless medium with magnetic dipolar illumination.
Mathematical Methods in the Applied Sciences, 39, 4268–4292.
42