Page 8 - sst-2022b

u
τυχαία συνάρτηση ( ) r δίνεται από τη σχέση βαλλόμενες συνοριακές συνθήκες. Συνεπώς, η λύση εδώ
είναι η αρμονική συνάρτηση
∞
l
∞
l
/
/
/
/
u ( ) r = ∑∑  A l mq u l mq ( ) r + A l mq u l mq x ( ) r   , (18) Χ s ( ) r = ∑∑∑ b mq r ( −+ ) 1 Y mq ( , ζϕ , (28)
)
, 
l
/
/
e
,ex
in
,
,in
l = 0 0 m= 2 l = 0 0 m= = , q eo l , ex l
για ∈r {r ∈ [0,+∞ ), ζ ∈ [ 1,1 , ϕ − ] [0,2π ∈ )} και επίσης με άρα και
A mq , A mq αυθαίρετες σταθερές. Ισχύει A l mq = 0 για s ∞ l  mq  ∑∑∑  mq  m
/
/
/
, n in
,ex
, n ex
/
/
( ) =
r

0ex
2
/
εσωτερικό πρόβλημα και A l mq = 0 για εξώτερικό (όπως Hr l = 0 0 m= = , q eo  b l ,  ex −r  4π ⋅∇ 0 r ρ l , ( )

,in
το υπό μελέτη πρόβλημα). Οι ιδιολύσεις δίνονται από τις l α 2 l 1 + 
)
l
/
)
/
l
l
/
u l mq ( ) r = r P l m ( ) fζ m q () ϕ = rY l mq ( , ζϕ , (19) l + 1   r ( −+ ) 1 Y l mq ( , ζϕ , (29)
,in
)
/
l
/
u l mq ( ) r = r ( −+ ) 1 P l m ( ) f ζ m q () = r ϕ ( −+ ) 1 Y l mq ( , ζϕ , (20) για ≥l 0 , m = 0,1,2,...,l , q = , eo . Οι b mq είναι αυθαί-
l
/
,ex
l
,ex
όπου ρετοι διανυσματικοί συντελεστές λύσεις του συστήματος
)
/
Y l mq ( , ζϕ = P l m ( ) f ζ m q () ϕ , (21) +∞ l  3
/
/,κ
r
να είναι οι σφαιρικές ιδιοσυναρτήσεις με ∑∑∑ ∑ f  l mq ( ,, ζϕ )b l mq
s
, j
, j
cosm  , q ϕ e = l = 0 0 m= = , q eo  j= 1
f m q () ϕ =  (22)
 sin mϕ , q = o g − mq ( , , ;r ζϕ r ) =  0, κ = 1,2,3, (30)
/,κ
και P τις συσχετισμένες συναρτήσεις Legendre 1 l s 0  
ου
m
l
/,κ
/,κ
1 με τα f mq και g mq να υπολογίζονται από τις συνο-
είδους. Ακόμη, για το ανάπτυγμα , αυτό ορίζεται ως l , j l
R ριακές συνθήκες συναρτήσει των Y l mq , P l m , f m q .
/
+∞
l
1 = 1 = ∑∑∑ ρ mq ( )u mq ( ),r r < r (23)
/
/
r
s
−
R rr 0 l = 0 0 m= = , q eo l , 0 ex l , in 0 C. Υπολογισμός του μαγνητικού πεδίου Η
3
s
s
με Για το πεδίο Η έχουμε το πρόβλημα ∆Φ = 0 με
3
3
( +l m )! H s = ∇Φ και ( ) H p ( ; n rr + ) H r  ⋅ s ( ) = 0 ως συνο-

ˆ r
s

r
ρ mq ( ) = ε u mq ( ) . (24) 3 s s 0 3 s 
/
/
r
3
3
,
0ex
l
l
( + m )! , m l 0ex ριακή συνθήκη. Η λύση υπολογίζεται
Τέλος, ο χώρος ηλεκτρομαγνητικής σκέδασης δίνεται από s 1 α   3  ˆˆ ) ˆ ˆ 
Hr
) ( m⋅rr −
− r
( { , ,r Ω = ) : r ζϕ ∈ [ , α +∞ ), ζ ∈ [ 1,1 ϕ− ], ∈ [0,2π )} { } (25) 3 ( ) = 2π   r    (2m⋅ ˆˆ ) ζ− (m⋅ ζ ϕ ϕ , (31)

0
όπου r = ( ,,r ζϕ ) ( ,,α ζϕ≡ ) το διάνυσμα θέσης στην ή, ορίζοντας την διάταξη “ ⊗ ”, παίρνουμε
s
s
επιφάνεια της σφαίρας και r 0 = ( 0 , r ζϕ 0 ) το διάνυσμα Hr   α   3 m  r ˆ 3  ⊗ r − Ι . (32)
,
ˆ %
s
 ⋅
( ) =
0

θέσης στο σημείο του δίπολου. 3  r  2π
s
s
A. Υπολογισμός του μαγνητικού πεδίου Η D. Υπολογισμός του ηλεκτρικού πεδίου Ε
1
0
Έχουμε το πρόβλημα ∆Φ = , H s 0 = ∇Φ με τη συν- Εδώ, έχουμε μια απλή αντικατάσταση στη σχέση (15)
s
0
s
0
0
s
θήκη ( ) H 0 s p ( ; n rr + s 0 ) H r  ⋅ s 0 ( ) = s  0 , η λύση του οποί- αφού έχουμε ήδη υπολογίσει το Η . Επομένως, θα είναι

2
ˆ r

l
∞
ου μας δίνει το βαθμωτό πεδίο s ( ) = Er − 1 µ ∑∑∑  ∇ u mq ( ) b mq
/
×
/
r


∞ l  m 1 2 ε l = 0 0 m= = , q eo  l ,ex l ,ex

r
Φ s 0 ( ) r = −  ∑∑∑ ⋅∇ 0 r ρ l mq ( ) 2 l 1 +  
/
 
0ex
,
r
/
l = 0 0 m= = , q eo   4π  −r   ⋅∇ 0 r ρ mq ( )  m  l α   . (33)
l
,
0ex
l α 2 l 1 +   4π  l + 1  
/
r ( −+l ) 1 Y mq ( , ζϕ )  , (26)
l + 1 l  E. Υπολογισμός του ηλεκτρικού πεδίου Ε
s
3
οπότε Εδώ, προκύπτει το πιο σύνθετο πρόβλημα ∆ s =Χ 0 ,
∞
l

s
Hr − ∑∑∑  l α 2 l 1 + ( −l m )! ε m 3 Er 3
( ) =

s
( ) ′
0
( +
1
Ω
l = 0 0 m= = , q eo   l + 1 l m )! E s 3 = Χ 3 s − 2π ∫∫∫ rr ′ d ′ , όπου οι συνοριακές συν-
−
 m

Ω
r
/
r
/
   4π ⋅∇ 0 r u mq ( ) ∇ u l mq ( ) , (27) θήκες είναι η σχέση ∇⋅ Er s 0
s
( ) = και η συνοριακή σχέ-
, 
l
,
ex
0ex


3
για κάθε r ∈Ω και ≥l 0 , m = 0,1,2,...,l και q = , eo . ση ( )  n ˆ r × s E 3  p ( ;rr + s 0 ) E r  s 3 ( ) = s  0 . Η λύση είναι η
∞
l
s
B. Υπολογισμός του μαγνητικού πεδίου Η Χ 3 s ( ) r = ∑∑∑ d mq r ( −+l ) 1 Y l mq ( ,ζϕ , (34)
)
/
/
2
,ex
l
, q eo
=
Για αυτό το πεδίο προκύπτει το πρόβλημα ∆ s 2 =Χ 0 , l = 0 0 m= 0,1,2,...,l , q = mq
/
H s 2 = Χ s 2 +Φ με ( )  r s 0 n ˆ r × s E 1  p ( ;rr + s 0 ) E r  1 s ( ) = s  0 και για ≥l 0 , m = , eo . Οι d l ,ex είναι αυθαί-
ρετοι διανυσματικοί συντελεστές λύσεις του παρακάτω
( ) H
ˆ r   2 s p ( ; n rr + s 0 ) H r  ⋅ s 2 ( ) = s  0 να αποτελούν τις επι- συστήματος
41