Page 21 - sst-2022b

− , όπου λ πραγματική παράμετρος και από την πραγματική παράμετρος και από την 1) Για = −4 παίρνουμε τις λύσειςπαίρνουμε τις λύσεις

εξίσωση mKdV προκύπτει ( , ) = −2 ℎ( − 4 ), )

)
(2) − 6( + ) + = 0. ( , ) = −4 ℎ(2 − 32 ).

ν
η
η
στ
ίσ
ωση
ε
ξ
σ
ντ
ικ
Με
α
α
στ
α
τ
ά
ι

ε
π
τ
ύση
Με την παρατήρηση ότι αν η είναι μια λύση τηςείναι μια λύση της Με αντικατάσταση στην εξίσωση (5) προκύπτει η λύση
λ
η

ύ
) π
5
(
κ
ο
ρ
6
εξίσωσης (2) τότε και η – θα είναι λύση της εξίσωσηςθα είναι λύση της εξίσωσης ( , ) = −6 .
εισάγουμε δύο συναρτήσεις 2 ℎ(2 − 32 ) − ℎ( − 4 )
−
)

= + + , = ++ − Παραγωγίζοντας την παραπάνω λύση προκύπτειτην παραπάνω λύση προκύπτει η λύση

και τον μετασχηματισμό = , == 1, 2. της εξίσωσης KdV

π
ρ
π
ων
ό
τ
έ
η
ν
κ
ε
τ
η
τ
λ
ε
σ
ά
υ
με
ε
ή
γ
ο
π
Έ
Έπειτα από την εκτέλεση των πράξεων καταλήγουμε στιςς 3 + 4 ℎ(2 − 8 ) + ℎ(4 − 64 )

στ
ι
ιτ
ω
ν
κ
ξ
ε
α
τ
α
λ
α
α
εξισώσεις ( , ) = −12 .

1 [3 ℎ( − 28 ) − ℎ(3 − 36 )]
(3) ( + ) = 2 + ( − ))

2

(4) ( − ) − 3( − ) + (( − ) = 0

οι οποίες αποτελούν τον auto – Bäcklundcklund μετασχηματισμό,
για την εξίσωση KdV.
Θεωρούμε την τετριμμένη λύση ( ( , ) = 0 , θέτουμε

= − και μέσω του μετασχηματισμού και μέσω του μετασχηματισμού Bäcklund
βρίσκουμε τη λύση ( , ) η οποία θα είναι:η οποία θα είναι:

( , ) = −2 ℎ[ ( − − 4 )], | | < 2 ,

( , ) = −2 ℎ[ ( − − 4 ))], | | > 2 .

Β. Ο μετασχηματισμός Bäcklund. Μια αλγεβρική σχέση. Μια αλγεβρική σχέση
υ
μ
ώρη
η
ε
ε
στ
α
ύ
χ
ο
Θα στηριχθούμε στο Θεώρημα του Bianchi, το οποίο
στ
Θ
τ
μ
ο
ι
ρ
θο
Θα
ιδιαίτερα
είναι ιδια ίτ ε ρ α χ ρ ή σ ιμο για τ τηη δ η μιο υργ ί
γ
α
ι
χρήσιμο
δημιουργίαα
πολυσολιτονικών λύσεων της εξίσωσηςτης εξίσωσης KdV χωρίς Σχήμα 2. Αναπαράσταση τηςτης λύσης για λ 2= -4.
περαιτέρω ολοκληρώσεις. Υποθέτουμε ότι έχουμε δύοδύο
π ε ρ α ιτ έ ρ ω ο λ οκ λ η ρώσ ε ι ς . Υπ ο θέ τ ουμε ότ ι έ χ ο υ με 2) Για = −3 η λύση της εξίσωσηςτης εξίσωσης KdV θα είναι
λύσεις και από τον μετασχηματισμόπό τον μετασχηματισμό Bäcklund − 12√3 + ℎ ( − 4 )

ρ
σ
τ
ωστ
τ
λ
μ
χ χρησιμοποιώντας την ίδια γνωστή λύσηση αλλά ( , ) = −4 3 ℎ √3 − .
ν
οιών
ή
ίδια
ι
οπ

η
α
ν
η
ς
γ
ύ

δι α φο ρ ε τ ικ έ ς τ ιμέ ς τ η ς π α ρα μέ τ √3 ℎ √3 − 12√3 − ℎ( − 4 )
διαφορετικές τιμές της παραμέτρουρου λ, και
α ντ ί σ τ ο ι χ α , π α ίρν ουμε δύ ο νέ ε ς λ ύ σε ι ς τ η που
αντίστοιχα, παίρνουμε δύο νέες λύσεις τηνν
προκύπτει από την και την παράμετρκαι την παράμετρο και την

που προκύπτει από την και την παράμετρο και την παράμετρο . Από

ξ
ν
ίσωσ
ε
ις
τ
η
ς
ι
με
ίρνο
α
υ
(3
ε
) π
τ
σε
η
την εξίσωση (3) παίρνουμε τις εξισώσεις::
ξ
ισώ
1

( + ) = 2 + ( − ) ,
(

2
1

(
( + ) = 2 + ( − ) .

2
Σύμφωνα με το Θεώρημα του Bianchi ισχύει:ισχύει: = .

Σχήμα 3. Αναπαράσταση τηςτης λύσης για λ 2= -3.
3) Για = −2 η λύση της εξίσωσηςτης εξίσωσης KdV θα είναι

2 ℎ √2 − 8 + ℎ ( − 4 )
( , ) = −2 .

√2 ℎ √2 − 8 − ℎ( − 4 )

Σχήμα 1. Αναπαράσταση του Θεωρήματος του ναπαράσταση του Θεωρήματος του Bianchi
Με τ ά τ η ν ε κ τ έ λ ε ση τ ω ν π ρ ά ξ ε ων π ρ ο κ ύ π τ ε
Μετά την εκτέλεση των πράξεων προκύπτειι
( )
(5) = − .

Θα πάρουμε τις λύσεις που βρήκαμε μέσω του λύσεις που βρήκαμε μέσω του
μετασχηματισμού Bäcklund με = 0

( , ) = −2 ℎ[ ( − 4 )], ]

( , ) = −2 ℎ[ ( − 4 )]. ]

Ακόμη θεωρούμε ότι = 0 και και = −1. Θα

ύ
ο
δύοο
μέ
ή
τ
η
ε
π
σουμ
σ
α
τ
η
στ
αναπαραστήσουμε το μέτρο της λύσηςς τ τωνων δ ύ Σχήμα 4. Αναπαράσταση τηςτης λύσης για λ 2= -2.
α
να
τ
ρα
λ
ς
ρο
σολιτονίων για διάφορες τιμές της παραμέτρου ου .
σο λ ι τ ον ίων γ ι α δ ιά φ ο ρ ε ς τ ι μέ ς τ η ς π α ρ α μ έ τ ρ
54