Page 20 - sst-2022b

Μελέτη σολιτονικών λύσεων ολοκληρώσιμων

Διαφορικών Εξισώσεων

Ζερβοπούλου Μαρία Καλημέρης Κωνσταντίνος

Μαθηματικός – Πληροφορικός Δ.Ε , Μεταπτυχιακή Φοιτήτρια Ερευνητής Γ΄ ΚΕΘΕΜ Ακαδημία Αθηνών
ΜΣΜ /ΣΘΕΤ, ΕΑΠ
kkalimeris@academyofathens.gr
zervopoulou@gmail.com, std123428@ac.eap.gr

Περίληψη – Οι σολιτονικές λύσεις αποτελούν ένα ορόσημο προσπαθώντας να μελετήσουν κάποια αινιγματικά
στη μελέτη των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων. Στην αποτελέσματα του πειράματος των Fermi, Pasta και
παρούσα εργασία, αφού οριοθετήσουμε περιγραφικά την Ulam πήραν ως συνεχή προσέγγιση ενός συγκεκριμένου
κατηγορία των ολοκληρώσιμων εξισώσεων, παρουσιάζουμε μη αρμονικού δικτυωτού πλέγματος την εξίσωση των
μια σειρά σολιτονικών λύσεων των εξισώσεων KdV, KP και Korteweg de Vries (KdV) και παρατήρησαν ότι η
NLS. Τέλος, αναπαριστούμε αυτές τις λύσεις με τη χρήση
του αλγεβρικού πακέτου Mathematica. διασπορά άρχισε να εξισορροπεί την επίδραση της μη
γραμμικότητας, έχοντας ως αποτέλεσμα τη μετατροπή του
Λέξεις-Κλειδιά: σολιτόνια, ολοκληρώσιμες εξισώσεις αρχικού ημιτονοειδούς κύματος σε μια σειρά μοναχικών
κυμάτων όπως αυτά που είχε παρατηρήσει ο Russell.
I. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ονόμασαν αυτά τα κύματα σολιτόνια για να τονίσουν τον
Για πολλές δεκαετίες οι επιστήμονες μελετούσαν τις εντοπισμένο χαρακτήρα τους και τις σωματιδιακές τους
φυσικές διεργασίες μέσα από αρμονικά μοντέλα με τη ιδιότητες.
χρήση της θεωρίας διαταραχών, καθώς η πολύπλοκη Η μελέτη μας θα επικεντρωθεί στις μη γραμμικές
συμπεριφορά που παρουσιάζει ένα μη γραμμικό φυσικό μερικές διαφορικές εξισώσεις που καλούνται
σύστημα περιόριζε τις μεθόδους που θα μπορούσαν να τα ολοκληρώσιμες. Αν και δεν υπάρχει ένας ακριβής
προσεγγίσουν. Παρόλο που η πολυπλοκότητα και η ορισμός γι’ αυτόν τον όρο θα μπορούσαμε να
αταξία συγκροτούν ένα βασικό χαρακτηριστικό των μη χαρακτηρίσουμε ως ολοκληρώσιμες τις εξισώσεις που
γραμμικών δυναμικών συστημάτων, υπάρχει μία μπορούν να λυθούν μέσω του Μετασχηματισμού
κατηγορία μη γραμμικών φυσικών συστημάτων που Αντίστροφης Σκέδασης (Inverse Scattering Transform), τα
καλούνται ολοκληρώσιμα, των οποίων οι λύσεις θεμέλια του οποίου μπήκαν το 1967 από τους Garner,
παρουσιάζουν ασυνήθιστη ευστάθεια. Η απλότητα των Greene, Kruskal και Miura. Οι εξισώσεις αυτές διαθέτουν
συστημάτων αυτών ώστε να μπορούν να επιλυθούν άμεσα πολλές σημαντικές κοινές ιδιότητες μερικές από τις
ή να ολοκληρωθούν και η προσέγγιση με μη γραμμικές οποίες είναι:
μερικές διαφορικές εξισώσεις μεγάλου αριθμού φυσικών 1) Έχουν σολιτονικές λύσεις.
συστημάτων είναι οι βασικοί λόγοι που τα κάνουν να 2) Υπάρχει το Ζεύγος Lax.
ξεχωρίζουν. 3) Υπάρχει ο μετασχηματισμός Bäcklund.
Θα μελετήσουμε την πιο αξιοσημείωτη κατηγορία 4) Έχουν άπειρο αριθμό διατηρήσιμων ποσοτήτων.
λύσεων των ολοκληρώσιμων μη γραμμικών μερικών 5) Προκύπτουν ως συνθήκη συμβατότητας γραμμικών
διαφορικών εξισώσεων, το σολιτόνιο, δηλαδή ένα τελεστών.
μοναχικό κύμα που διατηρεί ασυμπτωτικά το σχήμα και 6) Υπάρχει η διγραμμική αναπαράστασή τους (μέθοδος
την ταχύτητά του κατά τη μη γραμμική αλληλεπίδραση με Hirota).
άλλα μοναχικά κύματα, ή γενικότερα, με μία άλλη
αυθαίρετη εντοπισμένη διαταραχή. II. ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ
Το σολιτόνιο παρατηρήθηκε για πρώτη φορά τον Α. Ο μετασχηματισμός Bäcklund για την εξίσωση KdV
Αύγουστο του 1834 από τον Σκωτσέζο μηχανικό John Θα υπολογίσουμε μια λύση της εξίσωσης KdV μέσω
Scott Russell ο οποίος ονόμασε το φαινόμενο που είχε του μετασχηματισμού Bäcklund. Θεωρούμε την εξίσωση
ανακαλύψει μοναχικό κύμα μεταφοράς και παρατήρησε KdV, − 6 + = 0 και τον μετασχηματισμό του

κάποιες βασικές του ιδιότητες. Το 1895 οι Ολλανδοί Miura,
μαθηματικοί D.J. Korteweg και G. de Vries περιέγραψαν (1) = + .

τη διάδοση περιοδικών κυμάτων νερού σε αβαθή κανάλια Με αντικατάσταση των παραγώγων και την εκτέλεση των
με μια διαφορική εξίσωση με μερικές παραγώγους της πράξεων προκύπτει:

οποίας οι λύσεις είχαν τη συμπεριφορά που περιγράφεται (2 + )( − 6 + ) = 0.

από τον Russell και απάντησαν στις αμφισβητήσεις που Αν η είναι μια λύση της εξίσωσης mKdV

δέχθηκε το πείραμα του Russell από την επιστημονική − 6 + = 0, τότε και η θα είναι μία λύση

κοινότητα της εποχής τους. Περίπου εξήντα χρόνια της εξίσωσης KdV. Στη σχέση (1) αντικαθιστούμε το με
αργότερα ο Martin Kruskal και ο Norman Zabusky
53